Имеются несколько дополнительных слов касательно нашего искромётного спецкурса.

  • родился кондуит, в котором будет вестись учёт принятых задач
  • завёлся неофициальный телеграм-канал, в который я буду дублировать сообщения с этой страницы, чтобы они оперативно доходили до заинтересованных слушателей
  • стал доступен второй листок

Дам несколько комментариев к первому листку.

  1. “в точности” значит, что открытые множества удовлетворяют некоторому свойству и что ТОЛЬКО они ему удовлетворяют, то есть нужно сделать ДВЕ проверки
  2. нужно поработать с определениями
  3. тут, в общем-то, всё совсем просто
  4. нужно поработать с определениями
  5. пример есть в любой книжке по матанализу
  6. естественно предполагается, что это отображение должно быть непрерывным
  7. нужно предъявить явную биекцию и доказать, что она — гомеоморфизм, то есть что она непрерывна и что обратное отображение тоже непрерывно. Однако, дело это достаточно геморройное, и можно воспользоваться следующими ломами в рукаве. Известна теорема Тихонова, один из главных результатов общей топологии: произведение произвольного числа компактов, снабжённое тихоновской топологией произведения, компактно. Во-вторых, можно доказать, что непрерывная биекция из хаусдорфова пространства в компакт — гомеоморфизм
  8. простая проверка по определению
  9. а причём тут теорема об изоморфизме из теории групп?..